OpenGL ES 3차원 컴퓨터그래픽스 스케일링

Scaling(축소/확대)

2차원 축소 확대는, x방향과 y방향인자를 포함하게 된다.

행렬의 곱셈으로 처리함

2dscaling

Rotation(회전 변환)

rotation1

반시계/시계 방향은 사실 상관없음. 음수로 작성하면 동일하다.

Translation anf Homogenous Coordinates

주어진 x,y를 dx dy만큼 이동하는 것을 의미함.

벡터의 덧셈으로 정의됨.

동차좌표 (homogeneous coordinates)

회전 변환과 똑같이 벡터의 곱셈으로 나타냈으면 좋겠다. (x, y) → (x, y, 1) homogeneous

scaling과 rotation과 다른 점은 3 x 3 행렬이라는 점.

사실 (x,y,1) 이라고 했지만, 꼭 1일 필요는 없다. with any non-zero w 가능하기 때문에, (wx, wy, w) 로 정의해도 괜찮다. whomo

반대로 Cartesian 좌표를 변환하는 것은, w로 모든 요소를 나눠주면 될 것이다.

Scaling과 Rotation도 3x3좌표를 만들어야 하지 않을까?

2dTo3d

0 0 1 0 0을 추가하여 3차원으로 변환해주고, 계산하면 결과는 동일하다.

Multiple Transforms

Transform을 할 때에는 꼭 한가지 종류만 실행된다기보단, 여러가지가 같이 적용되는 경우가 많을 것이다.

이때는 따로따로 계산하는 것이 아니라, 순서에 맞춰서 행렬계산을 하면 될 것 같다.

matrices

정말 중요한건, 교환 법칙이 성립하지 않는다는 점이다. 순서를 잘 고려하자!

원점이 아닌 중심으로?

사실 지금까지 본 케이스들은 모두 원점을 중심으로 생각해본 것이다. 우리가 생각해야할 것은, 임의의 점을 중심으로 할 때를 고려해보아야 하는 것이다.

원점으로 translation한다고 생각했을 때, 그때의 움직임을 계산한 후 다시 복구하는 방식이 될 것 같다.

notOrigin

결국엔 모든 변환과정은 3x3 행렬들을 이용하기 때문에 나름 편하게 계산해볼 수 있을 것이다.

Linear transform
- Scaling (S),
- Rotation (R),
Translation (T)

1번과 2번을 나눈 이유는 밑에서 알게 될 것이다.

3x3행렬 결과값에서 맨 마지막 줄은 무시하면 되고, 결국 L파트와 t파트를 나누어 살펴볼 필요가 있을 것 같다.

Ltinmatrix

앞에 있는 2x2행렬만 L값으로 분류를 하는데, 이는 위의 1번에 해당하는 Linear Transform에 해당되는 변환만 계산된다. 즉, Translation은 계산되지 않은 채로 나온다.
t값의 경우 translation뿐만 아니라 linear transform에 해당되는 변환도 모두 계산된 채로 변환되는 것을 볼 수 있다.

즉, 순서를 다시 정리해보면,

L이 선형변환을 먼저 적용이 된다.
해당 물체에 t를 적용한다.

Affine 변환은 수많이 들어올 수 있지만, 결국 형태는 [ L|t ] 형식으로 이루어진다.

L|t 형식 안의 L에서 Scaling 변환이 빠진 형태를 R|t라고도 한다.
스케일링이 빠진 거 외에는 따로 바뀐 것이 없기 때문에 기존의 L|t 변환과 성질은 동일함.

How about 3D?

3dscaling

3D Rotation

2D Rotation과 다르게, 3D Rotation에서는 축을 중심으로 회전을 하게 된다.

xzaxis

Z-axis (Rz)

Obviously, z’=z.

z축을 기준으로 회전하기 때문에, z좌표의 변화는 없다.

다만, 나머지 다른 x,y좌표들은 2차원 rotation과 같은 원리로 움직인다고 생각하면 된다.

X-axis (Rx)

Obviously, x’=x. 눈을 x축에 두고 본다면, Rz일 때 x축이 y축이되고, Rz일 때 y축이 z축이 되어 같은 원리로 작동한다는 것을 알 수 있다.

transformmatrix

Y-axis (Ry)

같은 원리로 동일하게 작동한다. ryrotation

모든 축을 중심으로 회전을 한다고 할 때,

Counter-Clock Wise라면 각도는 양수를 사용하면 되고,
Clock wise라면, 각도는 음수를 사용할 수 있을 것이다.

3D Translation

2D에서는 3x3 행렬을 사용했다면, 여기서는 3x3에 하나를 더 추가한 4x4 행렬을 사용해서 변환을 한다.

지금까지 해왔던 3x3 행렬들도 같이 계산될 수 잇도록 4x4행렬로 바꿔줘야한다.

World Transformation

좌표계는 하나의 물제를 기준으로 만들어진 object space를 기준으로 만들어지는데, 각각의 object space를 게임과 같은 하나의 환경으로 묶어야 할 것이다. 이 하나의 환경을 world space라고 칭하고,

object space에서 world space로 변환하는 행위가 바로 앞에서 우리가 계속 배운 transform (더 자세하게는 world transform)의 형태가 되겠다.
교환법칙은 당연히 성립안됨.
L|t 형식 또한 그대로 유지됨 (3D에서는 3x3이 L의 형태가 되겠다.)
똑같이 L 먼저 → t 나중. 같은 원리이다.